12月1日(月)。 1
2009年 01月 11日
一限、振動・波動論。
§ ダランベールの解法(因子分解法)
どう見てもすごく強引なんですが、
∂**2f/∂t**2-v**2(∂**2f/∂x**2)
=(∂/∂t-v∂/∂x)(∂/∂t+v∂/∂x)f
=0
と変形します。
つまり、
(∂/∂t+v∂/∂x)f=0
なら波動方程式の解といえるわけで、
f(x,t)=F(x-vt)
なら上の式を満たせるだろうと。
Fは任意です。
当然、(∂/∂t-v∂/∂x)f=0でもいいわけで、
f(x,t)=G(x+vt)
でも解になります。
この二つの線形結合が一般解であろうということで、
f(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)
をダランベールの解と呼びます。
§ 初期条件と境界条件
じゃあ、本当にダランベールの解は一般解なのか。
……これ、項目が作ってあるだけのような気がするんですが。
そして、F(x)とG(x)はどのように決めればいいか。
例えば、初期波形がf(x,t=0)、初速が∂f(x,t)/∂t|t=0なら。
変位より、
F(x)+G(x)=f(x,t=0)
初速度より、
dF(x)/dt-dG(x)/dt=∂f(x,t)/∂t|t=0
下を積分して計算すれば求めることができます。
で、境界条件の話。
固定端なら、端は変位0というだけです。
自由端なら、端が軽い輪になっているとして、それに関する張力の運動方程式を立てます。
重さを0に近づけると、ある時の弦を止めて見たとき、端では傾きが0になる、という条件が出てきます。高校で習う「振幅が最大」というのと同義ですね。
§ 波のエネルギー
微小領域の運動エネルギーを積分しているだけです。
張力の式で、加速度を変位の式にしてるんですが、この後の変形が分かりません。
単振動のエネルギーとよく似た式です。
§ ダランベールの解法(因子分解法)
どう見てもすごく強引なんですが、
∂**2f/∂t**2-v**2(∂**2f/∂x**2)
=(∂/∂t-v∂/∂x)(∂/∂t+v∂/∂x)f
=0
と変形します。
つまり、
(∂/∂t+v∂/∂x)f=0
なら波動方程式の解といえるわけで、
f(x,t)=F(x-vt)
なら上の式を満たせるだろうと。
Fは任意です。
当然、(∂/∂t-v∂/∂x)f=0でもいいわけで、
f(x,t)=G(x+vt)
でも解になります。
この二つの線形結合が一般解であろうということで、
f(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)
をダランベールの解と呼びます。
§ 初期条件と境界条件
じゃあ、本当にダランベールの解は一般解なのか。
……これ、項目が作ってあるだけのような気がするんですが。
そして、F(x)とG(x)はどのように決めればいいか。
例えば、初期波形がf(x,t=0)、初速が∂f(x,t)/∂t|t=0なら。
変位より、
F(x)+G(x)=f(x,t=0)
初速度より、
dF(x)/dt-dG(x)/dt=∂f(x,t)/∂t|t=0
下を積分して計算すれば求めることができます。
で、境界条件の話。
固定端なら、端は変位0というだけです。
自由端なら、端が軽い輪になっているとして、それに関する張力の運動方程式を立てます。
重さを0に近づけると、ある時の弦を止めて見たとき、端では傾きが0になる、という条件が出てきます。高校で習う「振幅が最大」というのと同義ですね。
§ 波のエネルギー
微小領域の運動エネルギーを積分しているだけです。
張力の式で、加速度を変位の式にしてるんですが、この後の変形が分かりません。
単振動のエネルギーとよく似た式です。
by schole0927
| 2009-01-11 11:07
| 講義録(一年冬)